Exercices types : continuité en un point

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Contenu du cours

Execrcice 1

Etudier la continuité au  point $0$ des fonctions $f_1$ et $f_2$  définies par

$f_1(x) = \left\{  \begin{array}{lllll} \displaystyle\frac{x -|x|}{x} & \textrm{ si } x <0,\\ 2 &  \textrm{ si } x=0. \end{array}\right.$ et $f_2(x) = \left\{  \begin{array}{lllll} \displaystyle\frac{x}{ \sin{x}} & \textrm{ si } x \not=0,\\ 1 & \textrm{ si } x=0. \end{array}\right.$

Execrcice 2

Etudier dans chacun des cas suivants si la fonction est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}$ :

1.  $f_1: x \mapsto \displaystyle\frac{1 -\cos{(\sqrt{|x|})}}{|x|}$.

2.   $f_2: x \mapsto \cos{x} \; \cos{\left( \displaystyle\frac{1}{x} \right)}$.

Execrcice 3

Soit $\alpha \in [-1,1]$. Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left{ \begin{array}{lllll} \sin{\left(\displaystyle\frac{1}{x} \right)} & \textrm{ si } x \not=0,\ \alpha & \textrm{ si } x=0. \end{array}\right.$

Montrer que $f$ n'est pas continue en $0$.